Liczba Newtona to wartość określająca rozwiązanie problemu geometrycznego, w którym chcielibyśmy ustalić, ile stycznych n-wymiarowych sfer można maksymalnie umieścić dookoła innej n-wymiarowej sfery, tak, że sfery te w żadnym punkcie się nie przetną (mogą być styczne między sobą). Z problemem tym zapewne z nudów "eksperymentował" każdy, kto miał pod ręką 7 jednakowych monet. Możemy wtedy umieścić wokół jednej z nich dokładnie 6, aby stykały się z centralną monetą i nie jest możliwe, aby umieścić kolejną, gdyż każde dwie sąsiednie monety są ze sobą styczne. Dlatego też dla n=2 liczba całusków wynosi 6: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d2/Kissing-2d.svg/190px-Kissing-2d.svg.png

Dokładnie ten sam problem można zdefiniować dla przestrzeni 3 i więcej wymiarowych. Jednak jak okazuje się, jego udowodnienie już nawet dla przestrzeni trójwymiarowej nie jest tak trywialne, gdyż sfery nie będą "ściśle upakowane", w taki sposób, że każda para będzie do siebie przylegać. Problem ten po raz pierwszy (dla trójwymiaru) sformułowali niezależnie Isaac Newton (stąd alternatywna nazwa, liczba Newtona) oraz David Gregory. Newton pomimo braku kompletnego dowodu przypuszczał, że da się ułożyć 12 kul dookoła innej kuli, natomiast Gregory obstawiał, że możliwym jest "upchnięcie" 13 kul, co doprowadziło do słynnego XVII wiecznego sporu tych dwóch brytyjskich matematyków. Koniec końców dopiero 200 lat później dowiedziono, że to Newton miał rację. Problem ten nie ma znanego ogólnego rozwiązania, który byłby w stanie określić tę liczbę dla dowolnego n (wymiaru). Znane są jednak odpowiedzi dla szczególnych przypadków jak 1, 2, 3, 4, 8, czy 24.

Zagadnienie jest ciekawe z kilku powodów. Po pierwsze znalezienie czegokolwiek w języku polskim w internecie graniczy z cudem. Na hasło "liczba Newtona" oczywiście wyszukiwarka zwróci od góry do dołu wyniki z symbolem/dwumianem Newtona. Natomiast hasło "liczba całusków" jest zbyt ogólne i w sumie domyślnie się go (z ang. kissing number), też nie jest zbyt oczywiste. Jednak w takim przypadku można przeszukać pod tym kontem MiMUW, gdzie trafimy na całkiem dobry materiał w tym zakresie: https://www.mimuw.edu.pl/~miekisz/kafelkarz.pdf

Po drugie, mimo że problem wydaje się dość abstrakcyjny, to istnieją pewne praktyczne jego zastosowania w przestrzeniach trójwymiarowych, m.in. w krystalografii. Liczba 12 zgadza się z górnym ograniczeniem możliwych związań atomów pierwiastków z atomem centralnym, dla pierwiastków tworzących sieci krystaliczne - jest to tak zwana liczba koordynacyjna. Problem ten też jest też ściśle powiązany z postulatem Keplera zaproponowanym w 1611 roku ( https://pl.wikipedia.org/wiki/Postulat_Keplera ), zwanym też potocznie problemem sprzedawców pomarańczy. Problem ten możemy zdefiniować w sposób następujący: jak umieścić w przestrzeni jednakowe kule tak, aby zajmowały jak najmniej miejsca. Intuicyjnie każdy wie, że można zrobić to piętrami "na zakładkę": https://www.semanticscholar.org/paper/A-computer-verification-of-the-Kepler-conjecture-Hales/40622023262623baf2e12a1368179752b03522ed/figure/0 jednak udowodniono to dopiero w roku 1989, wskazując, że takie upakowanie będzie miało też współczynnik gęstości około 74%, a gęstsze upakowanie nie jest już możliwe.

@misterio
Dzięki za Twoją pracę :).