Liczby Mersenne'a to liczby postaci 2^n - 1, wśród których dość ciekawą podgrupę stanowią liczby pierwsze Mersenne'a, czyli takie, których warunkiem koniecznym jest spełnianie wzoru 2^p - 1, gdzie p jest liczbą pierwszą. Oczywiście nie dla każdej liczby pierwszej p otrzymamy liczbę pierwszą Mersenne'a, ale kilka pierwszych z nich to 3 (2^2 - 1), 7 (2^3 - 1), 31 (2^5 - 1), 127 (2^7 - 1), 8191 (2^13 - 1) [np. 2^11 - 1 nie jest pierwsza].
Liczby tej postaci są o tyle ciekawe, że relatywnie łatwo na nich operować w systemie dwójkowym (a więc za pomocą komputerów), gdyż liczby w zapisie 2^n - 1 będą się składały z samych "jedynek". Pozwoliło to wymyślić matematyczne formuły i algorytmy, które pozwalają łatwiej stwierdzić, czy liczba jest, czy nie jest pierwsza. Dziś wśród największych znanych liczb pierwszych są właśnie liczby Mersenne'a. Największa potwierdzona do tej pory 51 liczba to 2^82589933 -1 i ma w zapisie dziesiętnym 24.862.048 cyfr.

Poszukiwanie tych liczb przebiega w sposób rozproszony dzięki mocy komputerów udzielanej przez ludzi z całego świata i każdy taki komputer dostaje przedział z serwera centralnego do przeszukania, czy wśród niego jest liczba pierwsza Mersenne'a. Na pierwszy ogień idą metody probabilistyczne, które mogą zwracać fałszywe rezultaty, ale za to są bardzo szybkie. W szczególności jedną z takich metod jest test pierwszości Fermata, który wynika wprost z małego twierdzenia Fermata a^(p-1) ≡ 1 (mod p). Należy wylosować kilka liczb a < p, jeżeli liczba p jest złożona, to równość nie powinna być zachowana. Niestety czasem równość ta zostanie zachowana dla dowolnego a, takiego, że nwd(a, p) = 1 i są to tzw. liczby Carmichaëla, a o liczbach takich powiemy też, że są pseudopierwsze. Test jednak na pewno zwróci prawdę, jeżeli liczba jest pierwsza, dlatego poza nim korzysta się też z testów np. Solovaya-Strassena, czy Millera-Rabina, jednak wszystkie one są probabilistyczne i też mogą zwrócić tzw. false-positive, czyli stwierdzić pierwszość liczby pomimo jej złożoności. Nie mniej przejście wielu testów czyni z liczby już na tyle dobrego potencjalnego kandydata, że uruchamia się na nim test Lucasa-Lehmera, jest on kosztowniejszy czasowo, ale dla liczby Mersenne'a określi czy liczba taka jest pierwsza, czy złożona.

Liczby Mersenne'a są też o tyle ciekawe, że bezpośrednio zależą od nich liczby doskonałe, co wykazał Leonhard Euler. Dla przypomnienia liczba doskonała, to taka, której suma wszystkich jej dzielników daje tę liczbę. Najmniejszym przykładem jest 6, gdyż dzieli ją 1, 2 oraz 3, a 1+2+3 daje 6. Okazuje się, że wszystkie parzyste liczby doskonałe muszą spełniać zależność 2^(m-1) * (2^m - 1), gdzie m jest liczbą pierwszą Mersenne'a, zatem największą liczbą doskonałą będzie 2^82589932 * (2^82589933 - 1). Co ciekawe Euler podał też wzór, który teoretycznie muszą spełniać nieparzyste liczby doskonałe, ale dla liczb mniejszych niż 10^1500 nie znaleziono do tej pory ani jednej liczby doskonałej.

Na ten moment nie ma dowodu, który wskazywałby czy liczb Mersenne'a jest skończenie, czy nieskończenie wiele, choć zakłada się to drugie oraz udało się uzależnić liczbę liczb pierwszych Mersenne'a od liczby liczb pierwszych Germain. Jeśli dowiedzie się, że jednych jest nieskończenie wiele, to drugich też musi tyle być. Liczby pierwsze Germain znalazły zastosowanie w generatorach liczb pseudolosowych, które są szeroko używane np. w grach komputerowych.