"Wyobraź sobie dane liczbowe. Spójrz na ich pierwsze liczby. Wydawałoby się, że każda cyfra – od jedynki do dziewiątki – będzie występowała mniej więcej tyle samo. Otóż nie!

Okazuje się, że nieważne jakie dane z prawdziwego świata byśmy zebrali, okaże się, że liczb, które zaczynają się od cyfry jeden będzie najwięcej, a liczb, które zaczynają się od cyfry dziewięć będzie najmniej.

Ta dziwna cecha danych została odkryta przez inżyniera elektryka Franka Benforda w tysiąc dziewięćset trzydziestym ósmym roku. W ten sposób ponownie odkrył prawo sformułowane po raz pierwszy przez astronoma Simona Newcomba w 1881 roku.

Podsumowując: odkrył on, że częstotliwość z jaką występuje dana cyfra początkowa – czyli prawdopodobieństwo, że pierwsza cyfra przyjmie daną wartość – maleje wraz ze wzrostem tej wartości od 1 do 9.

Prawo Benforda mówi, że w pewnych zbiorach danych cyfra 1 pojawia się jako pierwsza w około 30% danych, cyfra 2 jest pierwsza w 18% danych i tak dalej.

Rozkład Benforda być może na pierwszy rzut oka nie jest oczywisty, ale krótki pomyślunek sprawia, że taka zależność staje się poprawna. Wyjaśnijmy to na przykładzie domów i ich numeracji. Stojące przy jednej ulicy domy są ponumerowane od 1 wzwyż. Jeśli domów jest dziewięć, to każda cyfra występuje na równi z innymi. Jeśli domów jest dziewiętnaście, liczba jeden będzie występowała jako pierwsza 11 razy (na 19 możliwych), więcej niż 50%. Wszystkie dziewięć cyfr ma równą częstotliwość tylko wtedy, gdy domów jest 9, 99, 999,… Co w przyrodzie zdarza się rzadko.

Rozkład Benforda jest o tyle fantastyczny, że pasuje do każdego rodzaju danych – czy to będzie powierzchnia wysp Bahama w milach, czy w kilometrach kwadratowych, czy to będą numery domów pomnożone przez 8 czy przez 62, czy też wyniki zawodów sportowych, dane giełdowe, liczba ludności różnych krajów, długości rzek… Nieistotne jednostki, w których mierzymy dane. Wszędzie tutaj występuje ta dziwna zależność, oczywiście o ile mamy wystarczająco dużą próbę.

Rozkład Benforda wykorzystywany jest w urzędach skarbowych, które wykrywają za jego pomocą fałszywe wartości w zeznaniach podatkowych. Osoby, które wymyślają fikcyjne kwoty najczęściej intuicyjnie używają wszystkich cyfr równomiernie. Malwersacje mogą być łatwo i szybko wykryte.

Najgłośniejszym przykładem zastosowania matematyki w tej dziedzinie było wykrycie malwersacji Jamesa Nelsona:

"Zastosowanie rozkładu Benforda pomogło w wykryciu fałszerstw w dokonanych przez Jamesa Nelsona, głównego księgowego i zarządzającego Arizona State Treasurer. W 1992 roku w miasteczku Wayne (Arizona, USA) został uznany za winnego zdefraudowania 1 878 687,58 dolarów. Dokonał tego wystawiając 23 fałszywe czeki.

* oszustwo rozpoczęło się małą kwotą (najmniejszą w całym procederze), przy czym kolejne kwoty fałszywych czeków stopniowo rosły
* większość czeków wystawiono na kwotę poniżej 100 000 dolarów.
* wykrycie przestępstwa umożliwił rozkład pierwszych cyfr poszczególnych kwot."

[wordpress.com]